Morphisme de groupe - Homomorphisme
Définition
Définition d'un morphisme de groupe (ou homomorphisme) :
- soient \((G,\cdot),(G^\prime,*)\) deux groupes
- soit \(\varphi: G\to G^\prime\)
- $$\forall x,y\in G,\qquad \varphi(x\cdot y)=\varphi(x)*\varphi(y)$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(\varphi\) est un morphisme de groupe ou homomorphisme
[!Remark] Notation
On note \(\operatorname{Hom}(G,G^\prime)\) l'ensemble des morphismes de \(G\) dans \(G^\prime\)
[!Note] Existence
\(\operatorname{Hom}(G,G^\prime)\ne\varnothing\), car il contient toujours l'application constante qui à tout élément de \(G\) associe \(e_{G^\prime}\)
Groupes isomorphes
Définition :
On dit que deux groupes \(G\) et \(G^\prime\) sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de \(G\) dans \(G^\prime\)
On note alors \(G\simeq G^\prime\)
[!Note] Nombre d'isomorphismes
En général, deux groupes isomorphes ne sont pas rendus isomorphes par un unique isomorphisme de groupes.
[!Note] Type de relation
La relation d'isomorphisme \(\simeq\) est une relation d'équivalence
Cas particuliers
Isomorphisme
Propriétés
Elément neutre
Image d'un élément neutre par un morphisme :
- \(f:G\to G^\prime\) est un morphisme
- \(e\) et \(e^\prime\) sont les éléments neutres de \(G\) et \(G^\prime\) respectivement
$$\Huge\iff$$
Elément d'un inverse
Image d'un inverse par un morphisme de groupes :
- \(f\) est un morphisme de groupe
$$\Huge\iff$$
- $$\forall x\in G,\qquad f(x^{-1})=f(x)^{-1}$$
Image d'un sous-groupe
Image d'un sous-groupe par un morphisme :
- soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
- soit \(H\subset G\) un sous-groupe
$$\Huge\iff$$
- \(f(H)\) est un sous-groupe de \(G^\prime\)
Image réciproque
Image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme :
- soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
- soit \(H^\prime\subset G^\prime\) un sous-groupe
$$\Huge\iff$$
- \(f^{-1}(H^\prime)\) est un sous-groupe de \(G\)
Image
Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme de groupes
\(f(G)\) est un sous-groupe de \(G^\prime\), appelé image de \(f\) et noté \(\operatorname{Im}(f)\)
Surjectivité
Surjectivité d'un morphisme :
- soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
- \(\operatorname{Im}(f)=G^\prime\)
$$\Huge\iff$$
Noyau
Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme de groupes
\(f^{-1}(\{e\})\) est un sous-groupe de \(G\), appelé noyau de \(f\) et noté \(\ker(f)\)
Proposition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
Alors on a : $${{\
G}}={{\#\ker f\times\#\operatorname{Im} f}}f}}$$
Proposition :
Pour tout morphisme \(\varphi\), on a : $${{\ker\varphi}}{{\triangleleft}} G$$
Injectivité
Injectivité d'un morphisme :
- soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
- \(\ker(f)=\{e\}\)
$$\Huge\iff$$
Décomposition canonique
Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
On définit la décomposition canonique de \(f\) : $${{\bar f}}:\begin{align}{{ G/\ker f}}&\longrightarrow{{\operatorname{Im} f}} \\ {{\bar x}}&\longmapsto{{\bar f(\bar x)=f(x)}}\end{align}$$ c'est un isomorphisme
(
Isomorphisme)
Groupes finis isomorphes
Proposition :
Les ensembles sous-jacents de deux groupes isomorphes sont équipotents
(
Ensembles équipotents - Equipotence)
Groupes finis isomorphes :
- soient \(G,G^\prime\) deux groupes finis
- \(G\simeq G^\prime\)
$$\Huge\iff$$
Exemples
Automorphisme intérieur